为了求微分方程的通解,需要先确定微分方程的阶数,然后根据阶数选择相应的解法。
以一阶常微分方程为例,设微分方程为 dy/dx=f(x,y),则可以使用分离变量法求解。具体步骤如下:
将方程中的所有 y 都移到方程的一边,x 都移到方程的另一边,得到 dy/f(y)=dx。
对方程两边同时积分,得到 ln|f(y)|=x+C,其中 C 是常数。
对方程两边同时取指数,得到 |f(y)|=e^(x+C)=e^Ce^x,再根据 |f(y)|=f(y)(因为 f(y) 总是非负的),得到 f(y)=Ae^x,其中 A=e^C 是常数。
将得到的 f(y) 带入原方程,得到 dy/dx=Ae^x,将其化简得到 y=(Ae^x)+B,其中 B 是常数。
因此,微分方程的通解为 y=(A*e^x)+B,其中 A 和 B 是常数。