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三角函数的两角和差公式是什么(两角和与差的三角函数公式口诀)

三角函数的两角和差公式是什么(两角和与差的三角函数公式口诀)

更新时间:2024-08-17 12:08:57

三角函数的两角和差公式是什么

三角函数两角和差公式是

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B) = (tanA-ta三角函数两角和差公式推导过程

证明方法并不唯一,在这里提供一种我认为比较容易理解的方法。如下图所示,从 A 出发作 ∠α 和 ∠β,在 ∠β 的一条射线上取一点 D ,过 D 作 ∠β 的另一条射线的垂线,设垂足为 E。然后过 E 作 ∠α 的另一条射线的垂线,设垂足为 B。再延长 EB,作 CD ⊥ CE。

三角函数两角和差公式推导过程

如果假设 AD = 1,那么在 △AED 中,AE = cosβ,DE = sinβ。先来证明第 1 个公式:在 △CDE 中,CE = sinβ cosα;在 △ABE 中,BE = cosβ sinα;在 △ADF 中,DF = sin ( α+β )。因为 DF = BC = BE + CE,所以 sin ( α+β ) = cosβ s inα + sinβ cosα。

1、两角和与差的三角函数公式:

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

2、二倍角公式:

二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]

3、半角公式:

半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

4、公式:

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

公式推导:

附推导: sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*

(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)

再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的公式。正切的公式可通过正弦比余弦得到。

5、三倍角公式:

三倍角的正弦、余弦和正切公式:

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]

三倍角公式推导:

附推导:

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α),得:

tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)

=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

=4cos^3(α)-3cosα

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

这里是高中数学中的诱导公式。如:sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB,tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)等,这里面把B换为-B,即得两个角的差的三角函数公式。如:sin(A-B)=-sinAcosB+cosAsinB。注:cos(-A)=-cosA。

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