关于这个问题，余数定理：如果$a$和$n$是正整数，$b$是任意整数，则存在唯一的整数$q$和$r$，满足$b=aq+r$，其中$0leq r<n$。
证明过程：
首先证明存在性：对于$b$和$n$，可以找到唯一的$q$和$r$，使得$b=aq+r$。令$q=lfloorfrac{b}{n} floor$，即$q$是$b$除以$n$的商的整数部分。然后令$r=b-qn$，即$r$是$b$除以$n$的余数。显然，$0leq r<n$，因为任何数除以$n$的余数不可能大于等于$n$。
接下来证明唯一性：假设有两组$q_1,r_1$和$q_2,r_2$，满足$b=aq_1+r_1$和$b=aq_2+r_2$，其中$0leq r_1,r_2<n$。我们需要证明$q_1=q_2$和$r_1=r_2$。
首先，我们有$aq_1+r_1=aq_2+r_2$。因此，$a(q_1-q_2)=r_2-r_1$。由于$0leq r_1,r_2<n$，所以$-n<r_2-r_1<n$。又因为$a$和$n$都是正整数，因此$|a(q_1-q_2)|geq n$。这意味着$|r_2-r_1|geq n$，这与$r_1,r_2<n$矛盾。
因此，我们得出结论$q_1=q_2$和$r_1=r_2$。这证明了余数定理的唯一性。
综上所述，我们证明了余数定理的存在性和唯一性。
回答如下：余数定理是指，如果一个整数n除以另一个正整数d得到的余数是r，那么n可以表示成d的倍数加上r，即n=dk+r，其中k为整数。余数定理的证明如下：
假设n除以d得到的商为q，即n=dq+r。我们可以将n表示为d的倍数加上余数r，显然这个表示方法是正确的。
然后我们假设另一个整数m也满足m=dq+r，我们需要证明m和n除以d得到的余数是相等的。
设n除以d得到的余数为r1，m除以d得到的余数为r2，那么有：
n = dq + r1
m = dq + r2
将这两个式子相减得到：
n - m = (dq + r1) - (dq + r2) = r1 - r2
因为r1和r2都小于d，所以r1-r2的绝对值一定小于d。因此，n和m除以d得到的余数相等，即余数定理得证。
