余数定理是代数学中的一个基本定理，它描述了多项式除以(x - a)的余数与将(x)替换为(a)后的多项式值相等的关系。余数定理的表述为：如果多项式(f(x))除以(x - a)的余数为(r)，则(f(a) = r)。
下面是余数定理的推导过程：
1. **假设多项式为**：
令多项式为(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ldots + a_1x + a_0)，其中(a_n)是最高次项的系数，(n)是多项式的次数。
2. **用(x - a)除(f(x))**：
使用长除法或者辗转相除法，将(f(x))除以(x - a)，得到商式(q(x))和余数(r)，即：
[ f(x) = (x - a)q(x) + r ]
3. **代入(x = a)**：
将(x)替换为(a)，得到：
[ f(a) = (a - a)q(a) + r = r ]
所以，余数定理成立，即多项式(f(x))除以(x - a)的余数等于将(x)替换为(a)后的多项式值。这个定理在代数学中有很多应用，特别是在因式分解、多项式插值等问题中。
