方法是使用极限的定义。
极限的定义是：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，有|f(n)-L|<ε。其中L是函数的极限值。
另一种方法是使用夹逼准则。夹逼准则是指：如果函数在两个非空开集之间连续，并且在这个开集内可导，那么它在这两个开集之间的某个子区间内一定有极限。
一、应用夹逼定理证明。
二、应用单调有界定理证明。
三、从用极限的定义入手来证明。
四、应用极限存在的充要条件证明。
一、应用夹逼定理证明
如果有函数f(x),g(x),h(x),满足g(x)≤f(x)≤h(x), Limg(x)= Limh(x)=A，则Limf(x)=A。
用夹逼定理时，由给出的数列放大、缩小，在放大、缩小时，不要改变起主要作用的n最高次方项，并且要求放大、缩小后的表达式极限相等，是夹逼定理的关键。
二、应用单调有界定理证明
若数列递增且有上界，或数列递减且有下界，极限存在。单调有界定理对函数的极限也成立。
三、从用极限的定义入手来证明
以数列为例，设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限。
四、应用极限存在的充要条件证明
即函数左极限等于右极限，数列奇子列极限等于偶子列极限。
