一元线性回归方程用于建立自变量x与因变量y之间的关系。首先，找到最佳拟合直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小化。使用最小二乘法，通过计算数据点的误差平方和来得到回归方程的系数。
公式推导的关键是找出斜率和截距的表达式，其中斜率等于相关系数乘以响应变量的标准差除以自变量的标准差，截距等于响应变量的均值减去斜率乘以自变量的均值。这样就得到了一元线性回归方程的表达式。
以下是一元线性方程的推导过程：
假设有n个观测值(x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn)。
1. 计算均值x̄和ȳ。
x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / n
ȳ = (y1 + y2 + ... + yn) / n
2. 计算协方差Sxy和方差Sx。
Sxy = (x1 - x̄)(y1 - ȳ) + (x2 - x̄)(y2 - ȳ) + ... + (xn - x̄)(yn - ȳ)
Sx = (x1 - x̄)2 + (x2 - x̄)2 + ... + (xn - x̄)2
3. 计算b的值。
b = Sxy / Sx
4. 计算a的值。
a = ȳ - bx̄
5. 将a和b的值代入一元线性回归方程y = a + bx中，得到最终的一元线性回归方程公式。
y = (Sxy / Sx)x + ȳ - (Sxy / Sx)x̄
