局部鞅(local martingale)是鞅的局部化类。设X=X(e),e∈R₊是Fₑ适应过程，称X为Fₑ局部鞅(简称局鞅)，如果存在停时序列Sₔ，Sₔ↑+∞ a.s.使得X^(Sₔ)=X(e∧Sₔ),e∈R₊是Fₑ一致可积鞅。一个非负可积Fₑ局部鞅必是Fₑ上鞅。许多著作在局部鞅的定义中对X(0)加以特别对待。例如有，X(e),e∈R₊称为局部鞅，如果X(0)∈F₀，并且存在停时序列Sₔ,Sₔ↑+∞ a.s.使得X(e∧Sₔ)-X(0)是Fₑ一致可积鞅。
性质1 设M为一非负局部上鞅，若 可积，则M为上鞅。
性质2 设M为一右连续适应过程，
局部鞅
局部鞅
1)为要M是局部鞅，必须且只需存在停时，使得每个 为一致可积鞅。
局部鞅
局部鞅
局部鞅
2)设S，T为两个停时，使得 及 为一致可积鞅，则 也为一致可积鞅。
局部鞅
局部鞅
局部鞅
3)如果存在停时列，使得，且每个 为局部鞅，则M为局部鞅。
局部鞅
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性质3 设M为一局部鞅，T为一停时，则为要 为一致可积鞅，必须且只需 为类(D)过程。
局部鞅
局部鞅
局部鞅
性质4 设M为一局部鞅，T为一停时，为一 可测实值随机变量，则 为局部鞅。
性质5 可料局部鞅为连续局部鞅。
局部鞅
性质6 设M为一可料的局部可积变差鞅，则。
局部鞅
局部鞅
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性质7 设A为一局部可积变差适应过程，为其可料对偶投影，则 为唯一的可料有限变差过程，使得 为零初值局部鞅。
局部鞅
局部鞅
局部鞅
局部鞅
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性质8 设 为一适应局部可积变差过程， ，其中 为A的连续部分，为A的可及跳部分，为A的绝不可及跳部分，则
局部鞅
局部鞅
1) 为纯断的，为连续的；
局部鞅
局部鞅
2)为要 连续，必须且只需 为局部鞅；
局部鞅
局部鞅
局部鞅
3)为要 纯断。必须且只需 =0，且 为局部鞅。
局部鞅
性质9 设 为一局部可积变差鞅，令
局部鞅
局部鞅
局部鞅
则 为一局部可积变差过程，且其可料对偶投影 连续．我们有
局部鞅
此外，若M只有可及跳，则
局部鞅
性质10 设X为一非负右连续上鞅，则X有如下唯一分解：
局部鞅
局部鞅
其中M为在 中有界的局部鞅，A为一零初值可料可积增过程。
