证法一(纯几何法): 由平方关系,联想到勾股定理,为此构造直角三角形。 过点a作ae⊥bc,垂足为e,根据△abc的不同形状,垂足e可能在线段bd上、线段cd上、bc的延长线或cb的延长线上,当然e还可能与d点重合,此时△abc是等腰三角形,结论显然成立。下面我们只证明垂足e在线段cd上的情况,其他情况类似证明。 由勾股定理,有: 所以 , 故 ,得证。
证法二(解析几何法): 解析几何法的特点在于计算,需要用到了两点之间的距离公式。 因为d点为中点,由中点坐标公式,有: (此处,我们用表示p点的横坐标和纵坐标,下同。) 则 由恒等关系: 进一步可得: ,得证。
证法三(余弦定理): 使用余弦定理证明也很简洁。 由余弦定理得: 因为bd=cd,∠adb+∠adc=180°, 所以 , 所以 , 从而 ,得证。
证法四(向量法): , , 由于
