设等比数列的第一项是：a1，公比是q，那么第n项是：a1*q的(n-1)次方。那么：sn=a1+a2+……+an=a1+a1q+……+a1q(n-1)次方=a1(1+q+q平方+……+q的(n-1)次方)=a1(1-q)的n次方/(1-q)。
设等差数列第一项是a1，公差是d，……第n项是：a1+(n-1)d，所以：sn=a1+(a1+d)+……+(a1+(n-1)d)=n*a1+(d+2d+……+(n-1)d)=na1+d(1+2+……+(n-1))=na1+n(n-1)d/2。
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
推导如下：
因为an=a1q^(n-1)
所以Sn=a1+a1*q^1+.+a1*q^(n-1)(1)
qSn=a1*q^1+a1q^2+.+a1*q^n(2)
（1）-（2）注意（1）式的第一项不变。
把（1）式的第二项减去（2）式的第一项。
把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。
以此类推，把（1）式的第n项减去（2）式的第n-1项。
（2）式的第n项不变，这叫错位相减，其目的就是消去这此公共项。
于是得到
(1-q)Sn=a1(1-q^n)
即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
等差数列的各种公式
等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d(1)
前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)
以上n均属于正整数.
等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar，所以Ar为Am，An的等差中项，且为数列的平均数.
任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1，2，…，n}
和＝（首项＋末项）×项数÷2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
末项=首项+（项数-1）×公差
等差数列的应用
日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，长安等差数列进行分级。
若为等差数列，且有ap=q，aq=p.则a(p+q)＝－（p+q)。
若为等差数列，且有an=m，am=n.则a(m+n)＝0。
