我们用坐标（或复数）表示向量。已知向量a＝（x，y），向量b＝（m，n），向量c＝（p，q）。
加法交换律：
a＋b＝（x，y）＋（m，n）＝（x＋m，y＋n），b＋a＝（m，n）＋（x，y）＝（m＋x，n＋y）＝（x＋m，y＋n）。
所以，a＋b＝b＋a。
加法结合律：
（ a＋b）＋c＝〈（x，y）＋（m，n）〉＋（p，q）＝（x＋m，y＋n）＋（p，q）＝（x＋m＋p，y＋n＋q）；a＋（b＋c）＝（x，y）＋〈（m，n）＋（p，q）〉＝（x，y）＋（m＋p，n＋q）＝（x＋m＋p，y＋n＋q）。
所以（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
也可以用平行四边形法则（或三角形法则）证明。
