要求
cos2xcos7x
cos2xcos7x的不定积分，我们可以使用三角函数的乘积公式将其拆解为两个正弦函数的乘积，然后使用分部积分法求解。
首先，利用三角函数的乘积公式，我们有：
cos A cos B = frac{1}{2}[sin(A+B) + sin(A-B)]
cosAcosB=
2
1
[sin(A+B)+sin(A−B)]
将
A = 2x
A=2x和
B = 7x
B=7x代入上式，得到：
cos2xcos7x = frac{1}{2}[sin(9x) + sin(-5x)]
cos2xcos7x=
2
1
[sin(9x)+sin(−5x)]
接下来，我们要求
cos2xcos7x
cos2xcos7x的不定积分。根据分部积分法，有：
int cos2xcos7x , dx = frac{1}{2} int sin(9x) + sin(-5x) , dx
∫cos2xcos7xdx=
2
1
∫sin(9x)+sin(−5x)dx
分别对
sin(9x)
sin(9x)和
sin(-5x)
sin(−5x)进行不定积分，得到：
int sin(9x) , dx = -frac{1}{9}cos(9x) + C_1
∫sin(9x)dx=−
9
1
cos(9x)+C
1
int sin(-5x) , dx = -frac{1}{5}cos(-5x) + C_2
∫sin(−5x)dx=−
5
1
cos(−5x)+C
2
其中，
C_1
C
1
和
C_2
C
2
是积分常数。由于
cos(-5x) = cos5x
cos(−5x)=cos5x，所以上式可以简化为：
int sin(-5x) , dx = -frac{1}{5}cos5x + C_2
∫sin(−5x)dx=−
5
1
cos5x+C
2
将两个不定积分的结果相加，得到：
int cos2xcos7x , dx = -frac{1}{9}cos(9x) - frac{1}{5}cos(5x) + C
∫cos2xcos7xdx=−
9
1
cos(9x)−
5
1
cos(5x)+C
其中，
C = C_1 + C_2
C=C
1
+C
2
是积分常数。
表达形式为sin^n(mx),n是指数
∫cos^7(2x) dx
=1/2*∫cos^7(2x) d(2x)
=1/2*∫cos^6(2x) d(sin2x)
=1/2*∫[cos^2(2x)]^3 d(sin2x)
=1/2*∫[1-sin^2(2x)]^3 d(sin2x),用二项式定理展开
=1/2*∫[1-3sin^2(2x)+3sin^4(2x)-sin^6(x)] d(sin2x)
=1/2*[sin2x-3*1/3*sin^3(2x)+3*1/5*sin^5(2x)-1/7*sin^7(2x)]+C
=(1/2)sin2x-(1/2)sin^3(2x)+(3/10)sin^5(2x)-(1/14)sin^7(2x)+C
