在定义域内单调的函数具有反函数。
并非任意一个函数都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数，如函数 y=x^2(x∈R) 就没有反函数。只有单调函数才具有反函数。原函数与反函数定义域与值域交换。
一，是不是所有函数都有反函数
不是，存在反函数的充要条件是x与y一一对应。也就是说x取一个具体的数值时，有且仅有一个y值对应；y取一个具体的数值时，有且仅有一个x值对应。
事实上，我们接触更多的是连续函数，而不是离散函数或者分段的不连续的函数。连续函数存在反函数的充要条件是函数在定义域内严格单调。
定义反函数的前提是，原函数是双射(一对一)。同济版高数中，反函数的定义是“设 f:D→f(D) 为单射，......”因为是到 f(D) 那肯定是满射，所以也等同于要求是双射。
另外，关于反函数的双射要求
定义中要求的双射，就是一对一，左边右边都没有多余的没用上的点。因为这样的定义，最简洁，也足够应付各种反函数的应用场景。
其实，扩展到一对一，左边或右边有多余的没用上的点，虽然也没有矛盾之处，但既然它们是多余的没有用上的，从数学追求简洁的角度，干脆不带着它们就好了。这在函数定义时，也是一样的道理。对每一个x属于D，就是把D中元都用上，不用的多余的点也没有必要带着它们。
定义域和值域发生互换：原函数的值域是反函数的定义域，原函数的定义域是反函数的值域。
二，求反函数的一般步骤
(1) 检验函数是否为双射，或者做水平线检验，确定反函数存在性;表示原函数的定义域，注意，可能需要限制在部分单调区间。
(2) 根据 y=f(x) 反解出 x , 注意从求解过程的一些限制(如分母不为 0 , 根号下大于等于 0 等)得到反函数的定义域。
(3) 换表示，即交换 x 和 y ，得到最终的反函数。
注：反函数一般是在原函数的单调区间才存在的，也可以借助函数图形、函数单调性、定义域与值域是互换关系，来得到反函数的定义域加以验证。
