曲率半径的公式为κ=lim|Δα/Δs|。 ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)]/y"|,证明如下: 1、曲线上某点的曲率半径是该点的密切圆(Osculating circle)的半径。密切圆可能是与曲线在该点相内切的圆中半径最大的(比如在椭圆长轴顶点
曲率半径是描述曲线曲率大小的物理量，其公式推导如下：
设曲线上某一点为P，其切线方向为T，曲线在P点的曲率为k，曲率半径为r。
曲率k的定义为：在曲线上取一点Q，以PQ为半径做圆，该圆与曲线在P点处相切，那么该圆的半径r就是曲率k。
根据圆的性质，曲线在P点的切线与圆的切线重合，即T垂直于PQ。设曲线在P点处的参数方程为y=f(x)，则PQ的长度为：
PQ = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
= sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx
其中，dx为曲线在x点处的微小位移，dy/dx为曲线在x点处的斜率。
根据圆的面积公式，圆的面积为πr^2，又因为PQ为圆的直径，所以圆的面积也可以表示为：
πr^2 = PQ * 2r = 2πrkdx
将PQ的表达式代入上式，得到：
r = (1 + (dy/dx)^2)^(3/2) / |d^2y/dx^2|
即曲率半径r的公式推导完成。
注意：以上推导过程仅适用于平面曲线，对于空间曲线需要使用不同的公式进行计算。
