多普勒效应公式描述了当波源和观察者之间存在相对运动时，观察者接收到的波的频率与波源发出的频率之间的关系。这种现象可以应用于各种类型的波，包括光波、声波和电磁波。
以下是推导多普勒效应的基本步骤：
1. 假设一个静止的波源S发射具有频率f的波，其在介质中的传播速度为V。
2. 观察者L以相对于介质的速度V_l朝向或远离波源移动。
3. 在时间Δt内，波源发射出n个完整的波长λ = c/f，其中c是光速（对于光波）或声速（对于声波）。
4. 当观察者移动到下一个完整波长的位置时，新的波前会到达观察者。
5. 由于观察者的移动，它实际上接收到了比静止情况更多的波峰，因为它的位置一直在变化。
6. 如果观察者朝着波源移动，那么它每单位时间接收到的额外波峰会增加接收到的频率；如果它远离波源移动，则会减少接收到的频率。
7. 多普勒频移Δf定义为观察者接收到的频率f'与波源发出的频率f之间的差值：Δf = f' - f。
考虑一维情况下，有两种基本的情况：
### 情况1：观察者靠近波源
- 在Δt时间内，观察者移动的距离为Δx = V_l Δt。
- 这段时间内波源发出的完整波长数量为n = Δx / λ。
- 因此，观察者接收到的总波数也是n。
- 接收频率f'等于每个周期的时间间隔的倒数，即f' = n / Δt。
- 将上面两个等式联立起来得到f' = (V_l / λ) * f。
- 所以，正向多普勒频移Δf = f' - f = (V_l / λ) * f - f = (V_l / λ) * f(1 - λ / V_l)。
### 情况2：观察者远离波源
- 同样，在Δt时间内，观察者移动的距离为Δx = V_l Δt。
- 然而，这段时间内波源发出的完整波长数量现在是n = (λ - Δx) / λ。
- 所以，接收频率f' = n / Δt = [(λ - V_l Δt) / λ] * f / Δt。
- 整理后得到f' = f - (V_l / λ) * f。
- 所以，负向多普勒频移Δf = f' - f = f - (V_l / λ) * f - f = -(V_l / λ) * f。
这些公式假设了波源和观察者的相对速度远小于波速，且忽略了其他复杂因素如多普勒展宽等影响。实际应用中，需要根据具体场景选择合适的模型和公式来计算多普勒频移。
