ds^2= dx^2 + dy^2
ds= 根号下(dx^2+dy^2)
根据这个公式,可以退导其他的式子.
把dx^2从根号提出来,就是∫ds =∫ 根号下[1+(dy/dx)^2]*dx
同理,∫ds =∫ 根号下[1+(dx/dy)^2]*dy
如果是参数函数,对于t[a,b]
∫ds = ∫(上限b,下限a)根号下 [(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2]*dt
如果是极函数,(polar function)
∫ds = ∫(上限b,下限a)根号下 [r^2 + (dr/dO)^2]*dr
(O是角度theta,区间是〔a,b〕)这道题推导有点麻烦,得把x=cosr,y=sinr之类的都得带进去求导,就不说了.
推导弧长公式需要用到微积分中的一些知识，请注意掌握以下内容：
- 弧微分
- 微积分中的极限
- 一元函数的导数等。
下面是弧长公式的简单推导：
假设有一条曲线，其函数表示为 $y=f(x)$ 且 $alphaleq xleqeta$，要求其弧长为 $L$。为了得出一个近似值，我们可以将该曲线分为许多小段，并将每个小段视为线段，这样总长为每个线段长度之和。即：
$$Lapproxsum_{n=1}^{N}sqrt{(Delta x_n)^2+(Delta y_n)^2}=sum_{n=1}^{N}sqrt{1+left(frac{Delta y_n}{Delta x_n} ight)^2}Delta x_n$$
其中，$Delta x_n$ 表示 $x$ 轴上第 $n$ 个小段的长度，对应的 $Delta y_n$ 表示该小段上对应的 $y$ 轴长度。$N$ 表示可将曲线上的所有点用相同长度的线段连接成的总数。
为得到精确解，需要将每个分段的长度缩小到无穷小的程度，并求和，即：
$$L=lim_{N ightarrowinfty}sum_{n=1}^{N}sqrt{1+left(frac{Delta y_n}{Delta x_n} ight)^2},Delta x_n=int_{alpha}^{eta}sqrt{1+left(frac{dy}{dx} ight)^2},dx$$
这便是弧长公式的基本推导，其中 $frac{dy}{dx}$ 代表曲线的斜率，它对应于微积分中的导数。根据定义，若某函数 $y=f(x)$ 在一点 $x_0$ 可导，则 $y=f(x)$ 在该点的切线斜率即为该点的导数 $frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$，也就是该曲线在该点的斜率。
