是两个在数学中常用的不等式。
### 均值不等式：
均值不等式是一组关于平均值的不等式。在给定一组非负实数 (a_1, a_2, ..., a_n) 的情况下，均值不等式告诉我们这些数的某种平均值与它们的大小关系。
#### 算术平均数（AM）和几何平均数（GM）不等式：
对于非负实数 (a_1, a_2, ..., a_n)，它们的算术平均数（AM）和几何平均数（GM）满足以下不等式：
[ AM geq GM ]
其中，算术平均数 (AM) 定义为：
[ AM = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} a_i ]
几何平均数 (GM) 定义为：
[ GM = sqrt[n]{a_1 cdot a_2 cdot ... cdot a_n} ]
这个不等式意味着，对于非负实数，它们的算术平均数永远大于等于等数量的几何平均数。
### 基本不等式（Cauchy-Schwarz 不等式）：
基本不等式，也称为柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），是一种用于内积空间的不等式。对于两个向量 (mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)) 和 (mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n))，基本不等式表示为：
[ left( sum_{i=1}^{n} a_i b_i ight)^2 leq left( sum_{i=1}^{n} a_i^2 ight) left( sum_{i=1}^{n} b_i^2 ight) ]
这个不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会超过它们各自长度的乘积。
这两个不等式是数学中非常重要的，它们在不同的领域和问题中都有广泛的应用。
