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费马距离的题和答案(费马点练习题100道)

费马距离的题和答案(费马点练习题100道)

更新时间:2024-05-10 22:49:37

费马距离的题和答案

(1)若点p为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为______; (1)解:以B为顶点,往BC边外旋转BPC 60度得到BDE,根据费马点的定义,以及旋转,有: ∵∠APB=120º , ∠BDE=∠BPC=120度 ,∠ABC=60° ,∴ A、P、D、E四点共线 ∴△BPD是等边三角形 , ∠CBE=60度 ∵∠ABC=60度 , ∴∠ABE=∠ABC + ∠CBE=120度 , ∴∠ABP + ∠DBE=60度 ∵∠ABP + ∠BAP=60度 ,∴∠DBE=∠BAP ,∴△APB相似于△BDE , ∴AP/BP=BD/DE=BP/CP ,∴BP²=AP*CP ,即BP=2√3 (2)在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′.求证:BB′过△ABC的费马点 ,且BB′= . (2)∵∠BPA=120°,∠AB′C=60° , ∴A,P,C,B′四点共圆 ,∴∠APB′=∠ACB′=60°, ∴∠APB+∠APB′=180° , ∴BPB′三点共线。

在PB′上取一点D,使得∠PCD=60°, ∵∠CPB′=120°-60°=60° ,∴△PCD是等边三角形,得:PC=PD 在△APC和△B′DC中,AC=B′C,由∠PCD=∠ACB′=60°, ∴∠ACP=∠B′CD,PC=DC,∴△ACP≌△B′CD,得AP=DB′ ∴BP+AP+CP=BB′。

⑶正方形ABCD对角线上一点M,求M在什么位置时,AM+CM+BM取得极小值 〖关于费马点〗: 1、费马点定义:在一个多边形中,到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。

2、如何求一个三角形的费马点:当一个三角形的最大角小于1200时,以每一个边向形外做等边三角形,连结该等边三角形的顶点和该边的对角顶点,三条连线的交点P就是费马点。

3、点P是△ABC的费马点,则点P到三个顶点A、B、C的距离之和最短。

(1)由下图说明,费马点对边的张角为1200。

(2)PA+PB+PC=BB’ 将△APC以点C为旋转中心旋转600与△B’DC重合,连结PD,则△PDC为等边三角形,所以∠CPD=600又∠BPC=1200,因此B、P、D三点在同一直线上,又∠APC=1200,所以B、P、D、B’四点在同一直线上,故PA+PB+PC=BB’。

(3)、PA+PB+PC最短 在△ABC内任意取一点M(不与点P重合),连结AM、BM、CM,将△AMC以点C为旋转中心旋转600与△B’GC重合,连结BM、GM、B’G(同上),则B’B

一些关于费马的问题 : 1.A 村和B 村在河的两侧,到河两岸的距离分别是6 千米和2 千米,河宽2 千米,两村的水平距离为6 千米。现欲在河上修建一座桥,使自A 村过桥到达B 村的距离最短(假设河的两岸平行,且桥要垂直于河岸修建)。请在图上标明桥址,并求出此最短距离。2.白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。诗中隐含着一个有趣的数学问题: 诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发,奔向交河旁边的C点饮马,饮马后再到B点宿营,试问怎样走,才能使总的路程最短? (1)阅读理解: ①如图(A),在已知△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小,则称点P为△ABC的费马点,此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离; ②如图(B),若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上,则有AB•CD+BC•DA=AC•BD.此为托勒密定理; (2)知识迁移: ①请你利用托勒密定理,解决如下问题: 如图(C),已知点P为等边△ABC外接圆的 上任意一点.求证:PB+PC=PA; ②根据(2)①的结论,我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法: 第一步:如图(D),在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆; 第二步:在 上任取一点P′,连接P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A+P′B+P′C=P′A+(P′B+P′C)=P′A+ P′D; 第三步:请你根据(1)①中定义,在图(D)中找出△ABC的费马点P,并请指出线段 AD的长度即为△ABC的费马距离. (3)知识应用: 2010年4月,我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象,许多村庄出现了人、畜饮水困难,为解决老百姓的饮水问题,解放军某部来到云南某地打井取水. 已知三村庄A、B、C构成了如图(E)所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°),现选取一点P打水井,使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值. (2)知识迁移①问,只需按照题意套用托勒密定理,再利用等边三角形三边相等,将所得等式两边都除以等边三角形的边长,即可获证. ②问,借用①问结论,及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解. (3)知识应用,在(2)的基础上先画出图形,再求解. 解答: (2)①证明:由托勒密定理可知PB•AC+PC•AB=PA•BC ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC=BC, ∴PB+PC=PA, ②P′D、AD, 3)解:如图,以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD,连接AD,则知线段AD的长即为△ABC的费马距离. ∵△BCD为等边三角形,BC=4, ∴∠CBD=60°,BD=BC=4, ∵∠ABC=30°,∴∠ABD=90°, 在Rt△ABD中,∵AB=3,BD=4, ∴AD= = =5(km), ∴从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km.

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