（1）若点p为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，则PB的值为______； （1）解：以B为顶点，往BC边外旋转BPC 60度得到BDE，根据费马点的定义，以及旋转，有： ∵∠APB=120º ， ∠BDE=∠BPC=120度 ，∠ABC=60° ，∴ A、P、D、E四点共线 ∴△BPD是等边三角形 ， ∠CBE=60度 ∵∠ABC=60度 ， ∴∠ABE=∠ABC + ∠CBE=120度 ， ∴∠ABP + ∠DBE=60度 ∵∠ABP + ∠BAP=60度 ，∴∠DBE=∠BAP ，∴△APB相似于△BDE ， ∴AP/BP=BD/DE=BP/CP ，∴BP²=AP*CP ，即BP=2√3 （2）在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点 ，且BB′＝ ． （2）∵∠BPA=120°，∠AB′C=60° ， ∴A，P，C，B′四点共圆 ，∴∠APB′=∠ACB′=60°， ∴∠APB+∠APB′=180° ， ∴BPB′三点共线。
在PB′上取一点D，使得∠PCD=60°， ∵∠CPB′=120°-60°=60° ，∴△PCD是等边三角形，得：PC=PD 在△APC和△B′DC中，AC=B′C，由∠PCD=∠ACB′=60°， ∴∠ACP=∠B′CD，PC=DC，∴△ACP≌△B′CD，得AP=DB′ ∴BP+AP+CP=BB′。⑶正方形ABCD对角线上一点M，求M在什么位置时，AM+CM+BM取得极小值 〖关于费马点〗： 1、费马点定义：在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。2、如何求一个三角形的费马点：当一个三角形的最大角小于1200时，以每一个边向形外做等边三角形，连结该等边三角形的顶点和该边的对角顶点，三条连线的交点P就是费马点。3、点P是△ABC的费马点，则点P到三个顶点A、B、C的距离之和最短。（1）由下图说明，费马点对边的张角为1200。（2）PA+PB+PC=BB’ 将△APC以点C为旋转中心旋转600与△B’DC重合，连结PD，则△PDC为等边三角形，所以∠CPD=600又∠BPC=1200，因此B、P、D三点在同一直线上，又∠APC=1200，所以B、P、D、B’四点在同一直线上，故PA+PB+PC=BB’。（3）、PA+PB+PC最短 在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△AMC以点C为旋转中心旋转600与△B’GC重合，连结BM、GM、B’G(同上)，则B’B一些关于费马的问题 ： 1.A 村和B 村在河的两侧，到河两岸的距离分别是6 千米和2 千米，河宽2 千米，两村的水平距离为6 千米。现欲在河上修建一座桥，使自A 村过桥到达B 村的距离最短（假设河的两岸平行，且桥要垂直于河岸修建）。请在图上标明桥址，并求出此最短距离。2.白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。诗中隐含着一个有趣的数学问题： 诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向交河旁边的C点饮马，饮马后再到B点宿营，试问怎样走，才能使总的路程最短？ （1）阅读理解： ①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离； ②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB•CD+BC•DA=AC•BD．此为托勒密定理； （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的 上任意一点．求证：PB+PC=PA； ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆； 第二步：在 上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+ P′D； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段 AD的长度即为△ABC的费马距离． （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水． 已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值． （2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证． ②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解． （3）知识应用，在（2）的基础上先画出图形，再求解． 解答： （2）①证明：由托勒密定理可知PB•AC+PC•AB=PA•BC ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC=BC， ∴PB+PC=PA， ②P′D、AD， 3）解：如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，则知线段AD的长即为△ABC的费马距离． ∵△BCD为等边三角形，BC=4， ∴∠CBD=60°，BD=BC=4， ∵∠ABC=30°，∴∠ABD=90°， 在Rt△ABD中，∵AB=3，BD=4， ∴AD= = =5（km）， ∴从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km．
