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过一点与椭圆相切的直线方程公式(过椭圆外一点的切线方程公式推导)

过一点与椭圆相切的直线方程公式(过椭圆外一点的切线方程公式推导)

更新时间:2024-05-11 20:45:19

过一点与椭圆相切的直线方程公式

直线与椭圆相切时,它们只有一个交点,这个交点在椭圆上,因此可以通过求解直线和椭圆的交点来得到相切直线的方程。

具体来说,设椭圆的方程为F(x,y)=0,直线的方程为L(x,y)=0,则相切点的坐标(x0,y0)满足F(x0,y0)=0和L(x0,y0)=0。

将L(x,y)代入F(x,y)=0中,得到一个关于x和y的一元二次方程,解出x或y的值,再代入L(x,y)=0中,即可得到相切直线的方程。

椭圆方程x²/a²+y²/b²=1,设切点是(m,n),则过该点的切线方程是mx/a²+ny/b²=1(半代入形式)

令此切线过已知定点,借助另一方程即(m,n)在椭圆上即可求出m、n的值,不过注意会有两解。

注意:椭圆的标准方程共分两种情况:

当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0);

当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是:y^2/a^2+x^2/b^2=1,(a>b>0);

其中a^2-c^2=b^2

推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)

例如:

一般的做法是过定点设出直线点斜式,联立出一元二次方程。利用只有一个交点得出方程有两重根,利用判别式求解。

若椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,定点(x0,y0)在椭圆上,

则过此定点的切线方程为x*x0/a^2+y*y0/b^2=1

扩展资料:

椭圆上任意一点到F1,F2距离的和为2a,F1,F2之间的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了书写方便设定的参数。

又及:如果中心在原点,但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时,方程可设为mx²+ny²=1(m>0,n>0,m≠n)。即标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是:x=acosθ , y=bsinθ

标准形式的椭圆在(x0,y0)点的切线就是 :xx0/a²+yy0/b²=1。椭圆切线的斜率是:-b²x0/a²y0,这个可以通过复杂的代数计算得到。

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