单调有界准则是实数完备性的一个重要应用。证明例题如下：假设有一个单调递增的数列{an}，且存在一个上界M，即对于所有的n，有an≤M。根据单调有界准则，这个数列必定收敛。证明思路如下：首先，由于数列单调递增，可以证明数列是有界的。其次，由于数列有上界M，可以使用实数完备性的定义，即数列存在一个极限L。最后，通过数列的单调性，可以证明极限L就是数列的极限。因此，根据单调有界准则，这个数列收敛。
证明： ∵ x(n+1) =√[2+x(n)] x(1)=√2 显然，x(n)>0 [x(n+1)]² - [x(n)]² =2+x(n)-[x(n)]² =-[x(n) -2][x(n)+1] 假设：x(n)<2，那么： 1° x(1)=√2<2 x(2)=√(2+√2)<√(2+2)=2 x(3)=√[2+√(2+√2)]<√[2+√(2+2)]=2 2° 令：n=k时，x(k)<2也成立，那么当n=k+1时： x(k+1)=√[2+x(k)]<√(2+2)=2 因此：当n=k+1时，x(k+1)<2也成立！ 综上，x(n)<2 于是： [x(n+1)]² - [x(n)]² =2+x(n)-[x(n)]² =-[x(n) -2][x(n)+1]>0 ∴ x(n+1) >x(n) 对于数列{x(n)}： 1）x(n+1) >x(n)，数列单调递增； 2）x(n)<2，该数列有上确界 ∴数列{x(n)}极限存在！ 设：lim(x→∞) x(n)=A 对x(n+1) =√[2+x(n)]两边求极限，于是： A=√(2+A) 解得：A=2和-1 根据极限保号性，A=-1舍去，因此： lim(x→∞) x(n)=2
