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奇偶函数增减函数相加减的规律是这样么(奇函数与偶函数的加减乘除口诀)

奇偶函数增减函数相加减的规律是这样么(奇函数与偶函数的加减乘除口诀)

更新时间:2024-04-10 10:21:22

奇偶函数增减函数相加减的规律是这样么

奇+奇=奇 偶+偶=偶增+增=增减+减=减增-减=增减-增=减

奇函数

是指对于一个定义域关于原点对称的

函数

f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= - f(x),那么

函数

f(x)就叫做

奇函数。

假设f(x)=x,该函数为奇函数,因为对于该函数的定义域内任意一个x都满足f(-x)=-f(x),

例如f(-1)=-1=-f(1)=-1.

某函数加减一个常数实际上体现的是函数图像平移(竖直方向),如函数x+1就是在原函数图像x上往上平移1个单位长度,函数x-1的图像是在原函数x上往下平移一个单位长度。

对于任意函数f(x)+ b,该式表示的都是函数f(x)图像的竖直平移。b>0时向上平移,b<0时往下平移,b=0时图像不变——因为f(x)+0=f(x)。

回到前文,该奇函数加减一个常数,如:f(x)=x+1实际上就是把f(x)=x的图像往上平移一个单位长度,如下图:

奇函数的图像关于原点对称,明显的——f(x)=x+1不关于原点对称,直接可以从图像看出f(x)=x+1不是奇函数。

严格地证明同样可以做到:根据奇函数的定义,对于任意x都有f(x)=-f(-x)。根据定义也可证明。

看得出来对于奇函数f(x)=x来说,加减常数使其图像平移后就不是奇函数了。

对于所有的奇函数来说呢?

仔细想想的话,只要奇函数上下平移以后,平移后的图像就不会再次关于原点对称了吧?

结论:奇函数加减常数表示的是图像的平移,平移后就不是奇函数也不是偶函数。

此外对于偶函数来说,上下平移的区别呢?

该图是偶函数f(x)向上平移一个单位长度后的f(x)+1的图像。

看得出来对于偶函数来说,不管加减任何常数(也就是向下或向上平移任意长度)后,还是偶函数。

这是奇偶函数竖直方向的平移。

此外还有水平方向的平移。

f(x+b)表示的是在函数图像f(x)的基础上水平方向(即左右平移)平移b个单位长度,

当b>0时,f(x+b)在f(x)的图像上向左平移b个单位;

当b<0时,f(x+b)表示在f(x)的图像上向右平移b个单位;

当b=0时,f(x+b)=f(x),图像不变。

如此图表示该函数(我画的是二次函数)为f(x)变成了f(x+b),其中左加右减,向右平移表示减号,即b<0.

看得出来,偶函数左右平移后就不是偶函数也不是奇函数。

偶函数上下平移后表示的还是偶函数。

奇函数左右平移后的图像你可以自己再画。

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