垂径定理（Perpendicular Bisector Theorem）是一个几何定理，它指出：如果一个点位于线段的垂直平分线上，那么它到线段两个端点的距离相等，即它到线段两个端点的距离相等。
垂径定理的数学陈述如下：
对于线段AB的垂直平分线CD，如果点P位于CD上，则有：
PA = PB
这个定理通常用于证明一个点是否位于线段的垂直平分线上，或者用于求解与线段的垂直平分线相关的几何问题。
证明垂径定理的一个简单方法是使用数学归纳法。以下是一个基本的证明过程：
1. 首先，假设线段AB的垂直平分线CD存在，并且点P位于CD上。
2. 通过反证法，假设PA ≠ PB。也就是说，点P到线段两个端点的距离不相等。
3. 在线段AB上选择一个点E，使得PE = PB。这是可行的，因为我们假设PB较长，所以可以在PB上找一个点E使得PE等于PB。
4. 由于PE = PB，根据三角不等式，我们知道PA + AE > PE = PB。这表示点A到点E的距离大于点P到点E的距离，即PA > PE。
5. 现在我们有PA > PE 和PE = PB，所以PA > PB。但这与我们最初的假设PA ≠ PB相矛盾。
6. 因此，假设PA ≠ PB是错误的，所以我们得出PA = PB。
这样，我们证明了垂直平分线上的点P到线段AB两个端点的距离相等，即垂径定理成立。这个证明方法使用了反证法，以排除PA ≠ PB的可能性，从而得出PA = PB的结论。
