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常见不等式公式总结(基本不等式公式一览表)

常见不等式公式总结(基本不等式公式一览表)

更新时间:2024-06-26 12:14:35

常见不等式公式总结

不等式中常用公式:

(1)√((a?b?/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。(当且仅当a=b时,等号成立)

(2)√(ab)≤(a+b)/2。(当且仅当a=b时,等号成立)

(3)a?b病?ab。(当且仅当a=b时,等号成立)

(4)ab≤(a+b)?4。(当且仅当a=b时,等号成立)

(5)||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。(当且仅当a=b时,等号成立)

常用的不等式的基本性质:a>b,b>c→a>c;

a>b →a+c>b+c;

a>b,c>0 → ac>bc;

a>b,c<0→ac<bc;

a>b>0,c>d>0 → ac>bd;

a>b,ab>0 → 1/a<1/b;

a>b>0 → a^n>b^n;

基本不等式:√(ab)≤(a+b)/2

那么可以变为 a^2-2ab+b^2 ≥ 0

a^2+b^2 ≥ 2ab

ab≤a与b的平均数的平方

扩展:若有y=x1*x2*x3.....Xn 且x1+x2+x3+...+Xn=常数P,则Y的最大值为((x1+x2+x3+.....+Xn)/n)^n

绝对值不等式公式:

| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b|

| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|

证明方法可利用向量,把a、b 看作向量,利用三角形两边之差小于第三边,两边之和大于第三边。

柯西不等式:

设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数,则有(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…an^2)*(b1^2+b2^2+…bn^2) 当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,2.3,…n)时取等号。

排序不等式:

设a1,a2,…an;b1,b2…bn均是实数,且a1≥a2≥a3≥…≥an,b1≥b2≥b3≥…≥bn;则有a1b1+a2b2+…+anbn(顺序和)≥a1b2+a2b1+a3b3+…+aibj+…+anbm(乱序和)≥a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1(逆序和),仅当a1=a2=a3=…an,b1=b2=b3=…=bn时等号成立。

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