基本不等式在数学中是一个非常重要的概念，它为我们提供了解决优化问题、最值问题和不等式证明的有效工具。以下是需要掌握的9种基本不等式方法：
1. 算术平均数与几何平均数不等式：对于任意两个正数a和b，有 arithmetic mean >= geometric mean，即 (a + b) / 2 >= sqrt(ab)。
2. 几何平均数与调和平均数不等式：对于任意两个正数a和b，有 geometric mean <= harmonic mean，即 sqrt(ab) <= 2 / (1/a + 1/b)。
3. 平方平均数不等式：对于任意两个正数a和b，有 (a^2 + b^2) / 2 >= ab。
4. 均值不等式：对于任意两个正数a和b，有 (a + b) / 2 >= sqrt(ab)。
5. 幂平均数不等式：对于任意两个正数a和b，有 (ab)^(1/2) <= (a^b + b^a) / 2。
6. 绝对值不等式：对于任意两个实数a和b，有 |a| + |b| >= |a + b|。
7. 柯西不等式：对于任意两个实数a和b，有 (a^2 + b^2)^2 <= (a^2 + b^2)(a^2 + b^2)。
8. 排序不等式：对于任意n个实数a1, a2, ..., an，有 (n / 2) * (a1 + an) >= sum(ai)，其中sum(ai)表示ai的算术和。
9. 琴生不等式：对于任意n个正数a1, a2, ..., an，有 (n / 2) * (a1^2 + an^2) >= sum(a^2)，其中sum(a^2)表示ai的平方和。
