单调有界函数必收敛是指，在数学分析中，一个在区间内单调递增或单调递减且有界的函数，其极限必定存在。也就是说，如果一个函数在某个区间内单调且有界，那么它的极限一定存在，并且可以通过对函数的取值进行不断逼近来计算出这个极限。
以下是一个简单的例子来说明这个概念：
考虑函数 f(x) = x^2，它在区间[-1, 1]上是单调递增且有界的，即 f(-1) = 1，f(1) = 1。由于 f(x) 在区间[-1, 1]上单调递增，因此对于任意的 x∈[-1, 1]，都有 f(x) <= f(1) = 1。这意味着 f(x) 在区间[-1, 1]上是有界的。
根据单调有界函数必收敛的定理，我们可以得出结论：f(x) 在 x→1 时的极限存在，并且可以通过对 f(x) 的取值进行不断逼近来计算出这个极限。具体地，我们可以取任意小的正数 ε，然后找到一个足够接近 1 的 x，使得 f(x) 的值足够接近 1。例如，当 x = 0.99 时，f(0.99) ≈ 0.9801，这就表明 f(x) 的极限非常接近 1。
这个例子表明，对于单调有界函数，我们可以通过不断逼近函数的取值来计算出它的极限，并且这个极限一定存在。这个定理在数学分析中具有重要的应用，例如在求数列或函数的极限、证明收敛性等方面。
