费马点的证明是基于三角形的边角关系，即三角形内角和定理和正弦定理。以下是一种证明方法：
假设ABC是任意一个三角形，其内部有一点P，连接AP、BP和CP。首先，根据三角形内角和定理，可以得出以下等式：
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
同时，根据正弦定理，可以得出以下等式：
∠BPC = ∠PAC + ∠PCB
∠APC = ∠PAB + ∠PCA
∠BPA = ∠CBP + ∠CAP
将这三个等式相加，得到：
∠BPC + ∠APC + ∠BPA = ∠PAC + ∠PCB + ∠PAB + ∠PCA + ∠CBP + ∠CAP
由于∠PAC + ∠PCB + ∠PCA + ∠CBP + ∠CAP = 180°，因此：
∠BPC + ∠APC + ∠BPA = 180° + ∠PAB
因为∠PAB是三角形PAB的一个内角，所以∠PAB < 180°，因此：
∠BPC + ∠APC + ∠BPA < 180° + 180° = 360°
但是，由于P是三角形ABC内部的一点，因此∠BPC、∠APC和∠BPA三个角的和应该等于360°，因此得出矛盾。
因此，假设不成立，即不存在一个三角形内部有一点，使得该点对三角形的三边张角之和为120°。因此，费马点的存在性得以证明。
