1.已知在三角形ABC中，BE,CF分别是角平分线，D是EF中点，若D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z，求证：x=y+z证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点. 过F点分别作AC,BC上的高交于P,Q点. 根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=FP,EM=EN. 过D点做BC上的高交BC于O点. 过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J点. 则X=DO,Y=HY,Z=DJ. 因为D 是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD 同理可证FP＝2DJ。 又因为FQ=FP,EM=EN. FQ＝2DJ，EN＝2HD。 又因为角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四边形FQNE是直角梯形，而D是中点，所以2DO＝FQ＋EN 又因为 FQ＝2DJ，EN＝2HD。所以DO＝HD＋JD。 因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。 2.在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。当∠BON=108°时。BM=CN还成立 证明；如图5连结BD、CE. 在△BCI)和△CDE中∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE∴ΔBCD≌ ΔCDE∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN ∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN ∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°∴∠MBC=∠NCD又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN ∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN 3.三角形ABC中，AB=AC,角A=58°，AB的垂直平分线交AC与N，则角NBC=( ) 3°因为AB=AC，∠A=58°，所以∠B=61°，∠C=61°。因为AB的垂直平分线交AC于N，设交AB于点D，一个角相等，两个边相等。所以，Rt△ADN全等于Rt△BDN所以 ∠NBD=58°，所以∠NBC=61°-58°=3° 4.在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点。且角PAQ＝45°，求证：PQ＝PB＋DQ 延长CB到M，使BM=DQ，连接MA∵MB=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠∴三角形AMB≌三角形AQD∴AM=AQ ∠MAB=∠DAQ∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ∵∠MAP=∠PAQAM=AQ AP为公共边∴三角形AMP≌三角形AQP∴MP=PQ∴MB+PB=PQ∴PQ=PB+DQ 5.正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于点P,求证DP⊥NP ∵直角△BMP∽△CBP ∴PB/PC=MB/BC ∵MB=BN 正方形BC=DC ∴PB/PC=BN/CD ∵∠PBC=∠PCD ∴△PBN∽△PCD ∴∠BPN=∠CPD ∵BP⊥MC ∴∠BPN+∠NPC=90° ∴∠CPD+∠NPC=90° ∴DP⊥NP
