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柯西不等式公式有哪些(柯西不等式6个基本公式)

柯西不等式公式有哪些(柯西不等式6个基本公式)

更新时间:2023-12-24 06:52:20

柯西不等式公式有哪些

1、二维形式:

(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2

等号成立条件:ad=bc

2、三角形式:

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

等号成立条件:ad=bc

3、向量形式:

|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)(n∈N,n≥2)

等号成立条件:β为零向量

 ,或α=λβ(λ∈R)。

4、一般形式:

(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2

等号成立条件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或ai、bi均为零。

扩展资料:

不等式的特殊性质有以下三种:

①不等式性质1:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变;

②不等式性质2:不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。

常用定理

①不等式F(x)< G(x)与不等式 G(x)>F(x)同解。

②如果不等式F(x)< G(x)的定义域

 被解析式H( x )的定义域所包含,那么不等式 F(x)<G(x)与不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。

③如果不等式F(x)<G(x) 的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,并且H(x)>0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)<H( x )G(x) 同解。

④不等式F(x)G(x)>0与不等式同解;不等式F(x)G(x)<0与不等式同解。

排序不等式:

对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn,y1≤y2≤…≤yn,设yi1,yi2,…,yin是后一组的任意一个排列,记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1,M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin,L=x1y1+x2y2+…+xnyn,那么恒有S≤M≤L。

当且仅当x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn时,等号成立。

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