如果 $y = log_a x$,其中 $a$ 是一个正实数且 $x$ 是一个正实数,那么我们可以使用以下公式对 $y$ 进行求导:
$frac{dy}{dx} = frac{1}{x ln a}$
其中,$ln$ 表示自然对数(以 $e$ 为底数)。
证明过程如下:
我们可以将 $y = log_a x$ 转换为指数形式,即 $a^y = x$。
然后,对上式两边同时求导:
$$frac{d}{dx}(a^y) = frac{d}{dx}(x)$$
应用链式法则,左侧变为:
$$frac{d}{dx}(a^y) = frac{d}{dy}(a^y) cdot frac{dy}{dx} = a^y cdot frac{dy}{dx}$$
右侧显然是 $1$,因此我们得到:
$$a^y cdot frac{dy}{dx} = 1$$
将 $a^y = x$ 代入上式,得到:
$$x cdot frac{dy}{dx} = 1$$
因此,
$$frac{dy}{dx} = frac{1}{x}$$
最后,由于 $y = log_a x$,我们可以将其转换为自然对数形式:
$$y = frac{ln x}{ln a}$$
对上式两边同时求导,得到:
$$frac{dy}{dx} = frac{1}{x ln a}$$
因此,如果要对 $y = log_a x$ 进行求导,只需将其转换为自然对数形式,然后应用上述公式即可。