共面向量定理
共面向量的定义：能平移到一个平面上的三个向量称为共面向量。
共面向量定理是数学学科的基本定理之一。属于高中数学立体几何的教学范畴。主要用于证明两个向量共面，进而证明面面垂直等一系列复杂问题。
中文名
共面向量基本定理
外文名
Coplanar Vector
别名
共面向量定理
适用领域
立体几何，空间向量
应用学科
数学
快速
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推论
内容
如果两个向量a.b不共线，则向量p与向量a.b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x.y),使 p=xa+yb
定义为：能平移到同一平面上的三个向量叫做共面向量
推论
推论1
设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x,y,z)
使得OP=xOA+yOB+zOC 说明：若x+y+z=1 则PABC四点共面
（1）唯一性：
设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC
则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC
∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0
∵OA、OB、OC不共面
∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'
故实数x,y,z是唯一的。
（2）若x+y+z=1， 则PABC四点共面：
假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 ，且PABC不共面
那么z=1-x-y ，则OP=xOA+yOB+（1-x-y）OC
=xOA-xOC+yOB-yOC+OC
=OC+xCA+yCB (CP=xCA+yCB)
点P位于平面ABC内，与假设中的条件矛盾，故原命题成立。
推论2
空间任一点P位于平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对{,x.y}，使 MP=xMA+yMB 或对空间任一定点O，有 OP=OM+xMA+yMB
