牛顿315、数学符号min{}；证明“两个无穷小的和是无穷小”
2021年1月5日，网友“稻草人”发表名为《极限——极限运算法则证明》的图片文章。
…极、限、极限：见《欧几里得218~303》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…运、算、运算：见《欧几里得121》…
…法、则、法则：见《欧几里得108》…
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
图片内容：…
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
极限运算法则
定理：两个无穷小的和是无穷小（有限个无穷小之和也是无穷小）
…定、理、定理：见《欧几里得2》…
…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280》…
…和：见《牛顿35》…
证明：设α和β是当x→x0时的两个无穷小，根据无穷小的定义，得：
（x→x0）lim α=0，（x→x0）lim β=0
…α：Alpha（大写Α，小写α，中文音译：阿尔法、阿拉法），是第1个希腊字母…
…β：beta（大写Β，小写β，中文音译：贝塔），是第2个希腊字母…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…lim：limit…
[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围
v.限制；限定；限量；减量…]
[无穷小
定义1 （直观定义） 绝对值无限减小的变量称为无穷小。
定义2 （直观定义）
对于任给的正数ε（无论它多么小），总存在正数M，使得不等式|x|＞M的一切x对应的函数值f（x）都满足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量。
定义3
对于任给的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得不等式0＜|x-x0|＜δ的一切x对应的函数值f（x）都满足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量。
——《牛顿314》]
再根据极限的定义（如上图）得：
对于∀（任意）ε＞0，∃（存在）δ1＞0，当0<|x-x0|<δ1时，有|α-0|<ε/2
对于∀（任意）ε＞0，∃（存在）δ2＞0，当0<|x-x0|<δ2时，有|β-0|<ε/2
…∀、∃：见《牛顿309》…
…ε（伊普西龙）：希腊字母第五个字母，大写Ε，小写ε，拉丁字母的E是从ε变来…
取δ=min{δ1，δ2}，则当0<|x-x0|<δ时，|α-0|<ε/2，|β-0|<ε/2同时成立。
…min：minute前三个字母…
…minute（英文）：n.（名词）分钟；分；一会儿；一会儿的工夫；时刻。
adj.（形容词）极小的；微小的；细微的；细致入微的；详细的…
…min（最小数）（百度百科）2：min在数学中，专指一个区间内最小数。如Fmin≤F≤Fmax…
那个min{，}什么意思？——网友提问
2015-11-19，蓝格岁月：就是取{，}里面最小的值。
……
再根据极限的定义（如上图）得：
对于∀（任意）ε＞0，∃（存在）δ1＞0，当0<|x-x0|<δ1时，有|α-0|<ε/2
对于∀（任意）ε＞0，∃（存在）δ2＞0，当0<|x-x0|<δ2时，有|β-0|<ε/2
从而|γ|=|α β|≤|α| |β|=ε/2 ε/2=ε
…γ：第三个希腊字母，读做“伽（gā）马”，小写为γ，大写Γ…
也就是说，对∀（任意）ε＞0，∃（存在）δ＞0，当0<|x-x0|<δ时，有|γ-0|<ε，即（x→x0）lim γ=0
用无穷小定义判断，γ=α β也是当x→x0时的无穷小。
“定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
请看下集《牛顿316、证明“有界函数与无穷小的乘积是无穷小”》”
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