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二阶微分方程的通解公式(2阶微分方程的通解公式)

二阶微分方程的通解公式(2阶微分方程的通解公式)

更新时间:2022-04-22 04:21:18

本文主要内容,介绍利用下图所示微分方程通解方法求解二阶微分方程y" y=6(sinx)^2的通解。

该微分方程的特征方程为:

r^2 1=0

r^2=-1

r=±i

则其y" y=0的通解y*为:

y*=c1cosx c2sinx.

由于P(x)=6(sinx)^2,化简得到:

P(x)=3-3cos2x,分两种情况:

p1(x)=3,此时可设特解y1=a.

代入微分方程得到:

0 a=3,即a=3,所以y1=3.

p2(x)=-3cos2x,此时可设特解y2为:

y2=acos2x bsin2x.

y2’=-2asin2x 2bcos2x

y2"=-4acos2x-4bsin2x,则:

-3acos2x-3bsin2x =-3cos2x

所以a=1,b=0.

即:y2=cos2x

根据微分方程的通解与特解关系,

则此方程的通解为:

y=y* y1 y2

= c1cosx c2sinx 3 cos2x

=c1cosx c2sinx cos2x 3.

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