形如2k+1或4k的形式必为智慧数，智慧数的形式必为2k+1或4k的形式，k∈Z+。
以下给予推导证明：
令P=a^2 -b^2（P、a、b均为正整数）
1、若a=2m（m≥1），b=2n（n≥1）
则P=4m^2 -4n^2=4(m^2 -n^2)，此时P为4k形式。
2、若a=2m（m≥1），b=2n+1（n≥0）
则P=4m^2 -4n^2-4n-1=4(m^2 -n^2 -n)-1，此时P为4k -1形式。
3、若a=2m+1（m≥1），b=2n（n≥1）
则P=4m^2+4m+1-4n^2=4(m^2+m- n^2)+1，此时P为4k+1形式。
4、若a=2m+1（m≥1），b=2n+1（n≥0）
则P=4m^2+4m+1-4n^2-4n-1=4(m^2+m- n^2-n)，此时P为4k形式。
又易知4k -1，4k+1包括了所有的奇数，即（4k+1）∪（4k -1）=2k+1
故P为2k+1或4k的形式，即智慧数为2k+1或4k的形式
又2k+1=（k+1）^2 –k^2，
4k=（k+1）^2 –(k-1)^2
故形如2k+1或4k的形式必为智慧数。
