设R为环 I.J都是R的理想 则I与J的和与交都是R的理想

取任意a，b属于I交J，可得a，b属于I且a，b属于J，由于I和J为R的理想，所以a-b属于I且a-b属于J故a-b属于I交J；取任意a属于I交J 任意r属于R，可得a属于I且a属于J，由I和J是R的理想可得ar，ra属于I且ar，ra属于J，于是可得ar，ra属于交J，由上可知，任意a，b属于I交J有a-b属于I交J，任意a属于I交J，任意r属于R有ar，ra属于I交J可得I交J为R的理想。I与J的和同理可证。