监理平行检验记录表的填写应该遵循以下步骤：
1. 填写基本信息：在表格的顶部填写被检验物品或者工程的名称、编号等基本信息；
2. 填写检验人员信息：包括监理人员和平行检验人员的姓名、职务等信息；
3. 填写检验时间：记录进行检验的具体时间，一般会分为开始时间和结束时间；
4. 填写检验项目：按照规定的检验标准和程序，逐项记录检验的项目和结果；
5. 填写结论和意见：根据检验结果，给出合格或不合格的结论，并在下方空白处填写相关意见和建议；
6. 填写签名：监理人员和平行检验人员需要在对应的签名栏目签名确认。
注意事项：
1. 在填写过程中注意笔迹清晰，以免造成误解；
2. 填写检验项目时应当详细、全面、准确地记录每个检验项目的结果；
3. 填写结论和意见时需严格按照实际情况进行判断，保证结论准确可靠。
