混沌理论和分形理论是复杂系统研究领域中的重要理论，它们都涉及到非线性动力学系统的研究。下面是它们的核心思想简述：
混沌理论：
混沌理论研究的是确定性非线性系统中的混沌现象。其核心思想是，即使是简单的数学方程可以产生极其复杂、难以预测的行为。混沌系统表现出对初始条件的极端敏感性，微小的初始差异也会导致系统的演化趋于完全不同的状态。这种不可预测性源于系统的指数敏感性依赖于初值。混沌系统的行为通常表现出随机性、周期性和确定性的结合，它们被描述为非周期且具有无限的变化和复杂性。
分形理论：
分形理论是研究自相似性及其形式化描述的理论，它可以用来研究复杂、粗糙和不规则的结构和现象。分形结构是指在各个尺度上都存在相似性的结构，即局部部分与整体具有相似的几何形状。分形理论的核心思想是，自然界中的许多结构和现象都是由重复的、简单的规则产生的，并且在不同的尺度上表现出相似的形态特征。通过分形理论，人们可以更好地理解和描述复杂系统的变化和规律。
总而言之，混沌理论关注于确定性系统中的不可预测性和复杂性，而分形理论关注于自相似性和层次结构的描述与解释。这两个理论都对于我们理解和描述自然界和人类社会中的复杂现象有着重要的意义。
混沌理论揭示的有序与无序的统一、确定性与随机性的统一，是继相对论和量子力学问世以来，本世纪物理学的第三次大革命，其覆盖面广及自然科学与社会科学的几乎各个领域。它正促使整个现代知识体系成为新科学，并正在消除对于统一自然界的决定论和概率论两大对立描述体系间的鸿沟”。混沌现象普遍存在于各个领域之中，混沌理论的诞生不仅使物理学、数学本身有很大的发展，而且它的基本概念、精神实质、研究方法已经渗透到了包括人文社会科学在内的几乎所有科学领域。
混沌理论认为，混沌系统有三个明显的特征：对初始条件的敏感依赖性（蝴蝶效应），极为有限的可预测性，混沌内部结构呈现出跨尺度的自相似性，即分形特征，混沌是非线性系统的本质特征。混沌理论的发展使现代科学不再是仅仅局限于孤立的和局部的分析方法，而开始采用宏观的和综合的观点来研究自然界的复杂现象，这就使东方传统哲学逐渐受到重视，因此混沌理论很可能是传统哲学通向自然科学的桥梁。
自相似性（Self-Similarity）定义：简单地说，就是局部的结构或功能与整体相似（这种相似是一种统计意义上的相似），自相似性是宇宙间的一种普遍现象。与自相似性研究重要相关的学科包括：源于西方哲学背景的分形理论（Fractal Theory）、混沌理论（Chaos Theory），源于东方哲学背景的全息理论（Holographics）、相似理论（Similology）。
分形理论的自相似性概念，最初是指形态或结构的相似性。也就是说，在形态或结构上具有自相似性的几何对象称为分形。而后随着研究工作的深入发展和研究领域的拓宽，又由于系统论、信息论、控制论、耗散结构理论和协同论等一批新学科相继涌现的影响，自相似性概念得到充实与扩充，人们把形态结构、功能和时间上的相似性都包含在自相似性概念之中，即所谓的广义分形概念。
分形是具有如下几个特征的图形：
1、分形具有自相似性。从上面两个例子可以看出：分形自身可以看成是由许多与自己相似的，大小不一的部分组成。
2、分形具有无穷多的层次。无论在分形的哪个层次，总能看到有更精细的，下一个层次存在。分形图形有无限细节，可以不断放大，永远都有结构。
3、分形的维数可以是一个分数。
4、分形通常可以由一个简单的，递归、迭代的方法产生出来。
