一、求函数极限的方法 1、利用极限的四则运算性质
x 2+3x +5
例：求 lim
x →2x +4
x 2+3x +522+3⋅2+55
= 解: lim =
x →22+42x +4
2、约去零因式（适用于x →x 0时, 型）
x 3-x 2-16x -20
例: 求lim 3
x →-2x +7x 2+16x +12
(x
解:原式=lim
x
x →-2
3
-3x 2-10x +(2x 2-6x -20)
322
+5x +6x +(2x +10x +12)
)
(x -5)(x +2) (x +2)(x 2-3x -10) (x 2-3x -10)
lim =lim == lim
x →-2(x +2)(x +3) x →-2(x +2)(x 2+5x +6) x →-2(x 2+5x +6)
=lim
3、通分法（适用于∞-∞型） 例:求 lim (
x →2x →-2
x -5
=-7 x +3
41
-)
4-x 22-x
解:原式=lim
114-(2+x ) (2-x )
= =lim =lim
x →22+x x →2(2+x ) ⋅(2-x ) x →2(2+x )(2-x ) 4
4、等价无穷小代换法
1-cos x 2
例:求极限lim 2
x →0x sin x 2
(x 2) 2
(x 2) 21-cos x 2222=1 lim 2 解: sin x ~x , 1-cos x ~ ∴ =
x →0x sin x 22x 2x 22
注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，
不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
1
5、利用两个重要的极限。
(A ) lim
sin x x →0x =1 (B ) lim x →∞(1+1
x
) x =e
经常使用的是它们的变形：
(A ' ) lim
sin ϕ(x )
ϕ(x )
=1, (ϕ(x ) →0)
(B ' ) lim(1+1
ϕ(x ) ) ϕ(x ) =e , (ϕ(x ) →∞)
例：求下列函数极限
(1) 、lim a x -1
ln cos ax x →0x
(2) 、lim x →0ln cos bx 解：（1）令a x
-1=u , 则 x =ln(1+u ) ln a 于是a x -1u ln a
x =
ln(1+u )
又当x →0时，u →0
故有：lim a x -1u x →0x =lim ln a u →0ln(1+u ) =lim ln a u →0ln(1+u ) =lim ln a
u →0
1=ln a u
ln(1+u ) u
(2) 、原式=lim
ln[(1+(cosax -1)]
ln[(1+(cosax -1)]cos bx -1x →0ln[1+(cosbx -1)]=lim x →0cos ax -1⋅
cos ax -1
cos bx -1
=lim cos bx -1x →0cos ax -1
sin 2a x
-2sin 2αx (a x ) 2(b
x ) 2
=lim =lim ⋅=b 2sin 2x sin 2x (2
x →0-2b x →0b a a
2
x ) 2
22(b 2
x ) 26、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限） 例：求下列函数的极限
e x (1) 、lim
cos x +5
x →01+x 2+ln(1-x )
2
7、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：
lim
x →1
x -1x -1
n m
l k
=
m l
m、n 、k 、l 为正整数。 nk
例：求下列函数极限 ① lim
x →1
1-x 1-m x
(m 、n ∈N ) ②lim (
x →∞
2x +3x +1
) 2x +1
解: ①令 t=x 则当x →1 时 t →1, 于是
1-t m (1-t )(1+t +t 2+ +t m -1) m
原式=lim =lim = 2n -1t →11-t n t →1(1-t )(1+t +t + +t ) n
2x +3x +12x +1
) =lim (1+)
x →∞2x +1x →∞2x +12x +1111
= 则 x +1=+ 令：2t t 2
②由于lim (
+2x +3x +12x +1
t 2
) =lim (1+) =lim (1+t ) =lim (1+t ) t ⋅lim (1+t ) 2=e ⋅1=e ∴lim (
x →∞2x +1x →∞t →0t →0t →02x +1
11
1
1
8、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形) 。
⎧1-2e -x , x ≤0
⎪
⎪x -x
例：设f (x ) =⎨, 0
x →0x →1
x ⎪
⎪x 2, x ≥1⎩解： lim f (x ) =lim (1-2e -x ) =-1--
x →0
x →0
x →0+
lim f (x ) =lim (+
x →0
x →0
x -x x
) =lim (x -1) =-1+
x →0
x →0
f (x ) =lim f (x ) =-1 ∴lim f (x ) =-1 由lim -+
x →0
又 lim f (x ) =lim --
x →1
x →12
x -x x
=lim x -1) =0-
x →1
lim f (x ) =lim x =1 x →1+x →1+
由f (1-0) ≠f (1+0) ∴lim f (x ) 不存在
x →1
3
9、洛必达法则（适用于未定式极限）
注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点： （1） 要注意条件，也就是说，在没有化为
0∞
, 时不可求导。 0∞
（2） 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。 （3） 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未
定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。
f ' (x )
（4）当lim 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方
x →a g ' (x )
法。 例： 求下列函数的极限
e x -(1+①lim 2x ) x →0ln(1+x 2)
②x lim
ln x
→+∞x a
(a >0, x >0)
解：①令f(x)= e x
-(1+2x )
, g(x)= ln(1+x 2)
f ' (x ) =e x -(1+2x )
-, g '
(x ) =
2x
1+x
2
f "
(x ) =e x
+(1+2x )
-, g "
(x ) =
2(1-x 2)
(1+x 2) 2
由于f (0) =f ' (0) =0, g (0) =g ' (0) =0 但f " (0) =2, g " (0) =2 从而运用洛必达法则两次后得到
--lim e x -(1+2x ) x →0ln(1+x 2)
=lim e x -(1+2x )
x →02x
=lim e x +(1+2x ) x →02(1-x 2)
=
2
2
=11+x 2
(1+x 2) 2
② 由lim ln x =∞, lim x a
x →+∞
=∞
x →+∞
∞ 故此例属于
∞
型，由洛必达法则有： 1
x lim ln x →+∞x =x lim x →+∞ax a -1=x lim 1a →+∞ax a
=0(a >0, x >0) 10、求代数函数的极限方法 (1)有理式的情况
4
(2x -3) 20(3x +2) 30
例：求下列函数的极限lim x +1) 50
x →∞(2 解: 分子，分母的最高次方相同，故
lim (2x -3) 20(3x +2) 30220⋅330
330x →∞(2x +1)
50=250=(2) (2)无理式的情况。 例：求x lim →+∞
(x +
x +x -x ) 解: x lim →+∞
(x +
x +x -x )
=x lim
初级阶段：四则运算法，连续函数用代入法，分子分母同除最高次项法，分离非零定式因式法，分子有理化法，分子分母约去致零因式法。晋级阶段：等价无穷小替换因式法，不定式的罗比达法则,幂指函数配底或取对数。高级阶段：泰勒公式展开法，收敛级数通项趋于0，构造定积分法，应用积分和微分中值定理法。

求极限的几种类型与方法
求极限的方法
(1)分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；
(2)无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；
(3)运用两个特别极限；
(4)运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小。比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
(5)用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍译为Taylor(泰勒)展开。
(6)等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。
(7)夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。
(8)特殊情况下，化为积分计算。
