二者意思相同，区别是grandma是口语的称呼，翻译成汉语就是奶奶或者姥姥，而grandmother是书面语，翻译为祖母或者外祖母。
回答如下。
grandma与grandmother 的区别在于：前者主要用作口语，后者是正式说法，多用作书面用语。
grandma n. ［口语］奶奶；姥姥，外婆。
grandmother n. 祖母；外祖母。
类似的词还有：
grandpa、granddad、grandpapa与grandfather——爷爷；外公。(前三个词是口语，第四个词是书面用语)
granny、grannie与grandmother——奶奶；外婆。(前两个词是口语，第三个词是书面用语)
