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sinx的麦克劳林级数推导过程(常用十个麦克劳林公式推导过程)

sinx的麦克劳林级数推导过程(常用十个麦克劳林公式推导过程)

更新时间:2024-06-07 16:43:43

sinx的麦克劳林级数推导过程

要推导 sin(x) 的麦克劳林级数,我们可以使用泰勒级数展开,泰勒级数是一种将函数表示为无限项幂级数的方法。对于 sin(x),其麦克劳林级数展开如下:

sin(x) = x - (x^3 / 3!) + (x^5 / 5!) - (x^7 / 7!) + ...

这是一个无限级数,其中 x 的每个次幂都除以相应的阶乘。下面是推导的步骤:

1. 首先,我们知道 sin(0) = 0,所以麦克劳林级数的展开点是 x = 0。

2. 接下来,我们需要计算 sin(x) 的各阶导数。sin(x) 的导数按照规律如下:

sin'(x) = cos(x)

sin''(x) = -sin(x)

sin'''(x) = -cos(x)

sin''''(x) = sin(x)

...

可以看到,sin(x) 的偶数阶导数等于 sin(x),而奇数阶导数等于 cos(x) 的负值。

3. 现在,我们可以使用泰勒级数的公式来写出麦克劳林级数:

sin(x) = f(0) + f'(0)x/1! + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + ...

其中 f(0) = sin(0) = 0,f'(0) = cos(0) = 1,f''(0) = -sin(0) = 0,f'''(0) = -cos(0) = -1,以此类推。

4. 将这些值代入级数公式:

sin(x) = 0 + 1x/1! + 0x^2/2! - 1x^3/3! + ...

5. 简化级数,得到最终的麦克劳林级数:

sin(x) = x - (x^3 / 3!) + (x^5 / 5!) - (x^7 / 7!) + ...

这就是 sin(x) 的麦克劳林级数,它可以用来近似计算 sin(x) 在 x = 0 处附近的值。级数的项数可以根据需要进行截断,以获得所需精度的近似值。

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