三角形外接圆半径公式推导：三角形的面积记作△，三边长分别是a、b、c，外接圆半径为R，那么△=abc/4R；R=abc/4△。因为△=(1/2)ah=(1/2)absinC=(1/2)ab·c/(2R)=abc/4R。
直角三角形的外心(即三边垂直平分线交点)在斜边的中点上，因此直角三角形的外接圆半径就等于斜边的一半。
设三角形abc，分别作ab边与ac边的垂直平分线相交于点o，以o为圆心，oa为半径作圆设为圆1，圆1即为三角形abc的外接圆，作由b点过圆心o至圆1圆周的直线与圆1交于d，bd为圆1的直径，圆1的半径r＝bd/2，连接ad构成直角三角形abd(因为∠bad的弦是圆1的直径，直径所对的圆周角等于90度)，在三角形abd中，sin∠adb＝ab/bd；
已知ab是圆周角adb与圆周角acb的共用弦，根据定理同弦所对的圆周角相等，∠adb＝∠acb，所以sin∠acb＝ab/bd；
bd＝ab/sin∠acb，2r＝ab/sin∠acb，
r＝ab/2sin∠acb
