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e是无理数的各种证明(证明e是无理数最经典的一种方法)

e是无理数的各种证明(证明e是无理数最经典的一种方法)

更新时间:2024-05-11 06:32:09

e是无理数的各种证明

是无理数。
1. 根据欧拉公式,e可以表示为级数的形式:e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...这个级数是无限不循环的,因此e是无理数。
2. 另外一种证明是通过假设e是有理数,即可以表示为两个整数的比值。
然后,通过对e进行近似计算,可以推导出一个矛盾,即不存在这样的有理数比值来表示e的情况。
因此,e是无理数。
所以,综上所述,e是无理数,并且有多种证明方法来阐明这一点。

关于e是无理数的证明,可以用反证法。

如果e是有理数,则可以表示成为两个互质的整数的商,即:e=p/q,其中p,q都是大于1的正整数。于是

p/q=e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/q!+1/(q+1)!+1/(q+2)!+...

将上式整理一下,得到

q!(p/q-1-1/1!-1/2!-...-1/q!)=1/(q+1)+1/((q+1)(q+2))+1/((q+1)(q+2)(q+3))+...

很显然,这个式子的左端是一个整数,而对右端的式子,有

0<1/(q+1)+1/((q+1)(q+2))+1/((q+1)(q+2)(q+3))+...

<=1/(q+1)+1/((q+1)(q+2))+1/((q+2)(q+3))+...

=1/(q+1)+1/(q+1)-1/(q+2)+1/(q+2)-1/(q+3)-...

=2/(q+1)<1

导出矛盾来了,所以e 是有无理数。

1873年,埃尔米特还证明了,e是超越数,即它不可能是任何整系数多项式方程的根。

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