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全体自然数倒数求和公式推导过程(连续奇数倒数求和公式推导)

全体自然数倒数求和公式推导过程(连续奇数倒数求和公式推导)

更新时间:2024-04-27 04:16:45

全体自然数倒数求和公式推导过程

不大于某自然数n的全部自然数的倒数和约等于这个自然数n和不大于这个自然数n的所有素数总个数π(n)之商。

即1+1/2+1/3+1/4+1/5+……+1/n≈n/π(n)

说明,由素数定理可以证明。

证明

因为在n→∞时,π(n)=n/lnn,而1+1/2+1/3+1/4+……+1/n=lnn+γ

其中γ是欧拉常数,γ≈0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335。

所以,在n→∞时,

1+1/2+1/3+1/4+……+1/n=lnn+γ=n/π(n)+γ

即∞=∞+γ=∞

可见,1+1/2+1/3+1/4+……+1/n≈n/π(n)

求和公式 : Sn=n(a1+an)/2 或Sn=a1*n+n(n-1)d/2 注:an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)*d(m小于n)  

 转换过程:Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2  

 对于任一N均成立吧(一定),那么Sn-Sn-1=[n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)]/2=[a1+n*an-(n-1)*an-1]/2= an   

化简得(n-1)an-1-(n-2)an=a1,这对于任一N均成立   

当n取n-1时式子变为,(n-3)an-1-(n-2)an-2=a1=(n-2)an-(n-1)an-1  

 得   2(n-2)an-1=(n-2)*(an+an-2)   当n大于2时得2an-1=an+an-2 

显然证得它是等差数列  

 和=(首项+末项)×项数÷2  

 项数=(末项-首项)÷公差+1  

 首项=2和÷项数-末项   末项=2和÷项数-首项   

末项=首项+(项数-1)×公差  

 性质:   若 m、n、p、q∈N  

 ①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq   ②若m+n=2q,则am+an=2aq   注意:上述公式中an表示等差数列的第n项. 自然数的倒数和x+x/1

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