数学学习的关键是解题的思路和方法，思路和方法又是建立在基础知识之上的，要能高效解决数学题，需要具备扎实的基础知识点，还需要具备一定的分析能力，在学习中还要善于总结，去总结解题的思路和方法。
很多同学做数学题，题目读完之后就一头雾水，连题目都没有读懂，根本不知道从何下手，也不知道该用哪个知识点，选择哪种方法，出现这种问题的根本原因是在学习中存在知识漏洞，读完题目后不能根据已知条件找准对应的知识点、考点和方法，失去来了做题的着眼点自然就不能将题目正确解答。
解数学题跟探案有类似之处，都是从蛛丝马迹中去寻找有用的条件，然后经过合理的分析、运用、组合，最终得到正确的结论，考查的就是条件的整合和运用能力。找到已知条件并合理利用已知条件就可以将题目正确解答，但难点就在于如何去寻找已知条件，又该如何去运用已知条件。
在数学的解题中很多老师都比较强调发散思维能力，发散思维其实就是一种联想能力，做数学题的时候，先要求学生去读题并寻找已知条件，然后再去思考通过题目中的条件能得到什么结论，有的结论是可以直接得到的，而有些条件是需要综合运用多个条件才能得出，综合性就会相对来说要比较强些，难度也会更大。
当题目中的已知条件比较少或者不能直接取运用的时候，这个时候就需要从题目的问题入手，先去思考要解决这些问题需要已知哪些条件，再去思考哪些条件是已知的，哪些是未知的，未知的条件和结论又该如何得到。
在数学的学习中老师经常告诉学生要做到举一反三，可这并不是一件容易的事情，需要具备较强的思维能力和应变能力，对解题的思路和方法理解透彻才可以做到。很多同学在做题中遇到的最大的问题就是想不到，见到条件之后想不到条件背后所隐含的信息，自然也就不能将题目正确解答，也还是缺乏高效和准确的联想能力。
那么该如何来提升自己的有效联想能力呢？在学习和做题中多去总结和积累和总结，老师之所以比学生就是因为老师在知识和题型的积累上比学生要多得多，已经形成了完整的知识体系，大部分的题目一见到题目就能联想到对应的知识点、方法和思路，即便是比较新的题目，也能从题目条件出发很快寻找到正确的思路，这就是一个量变到质变的过程。
学生在做数学题的过程中必然会遇到很多不知道该如何下手的题目，见到这样的题目的时候首先不要被题目所吓倒，首先去读题、理解题意，找到题目中的已知条件和需要解决的问题，并做好标注，当读了一遍没有理解时，那就多去读几遍，首先把条件和问题给找到，然后根据条件和问题找到对应的知识点和考点，再去联想与之相关的知识点、方法和思路，即便是遇到问题，也要知道 是在哪一步遇到问题了，以便在后期听讲解和看解析的时候能比较具有针对性。
很多的同学在遇到问题时，往往是在某一个关键的步骤或缓解出现了问题，只要将这个点给突破了，问题就可以得到顺利的解答，这个点就是听讲解的核心和关键，也是学生在听课中最需要注意的地方。
看这样的一道题：
题干很简单，已知一个一元二次方程，还知道用字母表示的方程的两根，求代数式的值。
题目的条件与一元二次方程及两根相关，那么就能很容易想到方程的根，方程已知，可以直接解方程，求出量字母的值，然后在代入要求值的代数式即可。
但发现一个问题，方程的两根都是根式，涉及三次方，运算量比较大，还会涉及分类讨论，显然这个方法不是最优方法。
那还有别的思路和方法吗？在方程的根中有一个很重要的知识点，根与系数的关系，可以根据已知条件求出方程的两根之和和两根之积。
然后该怎么办呢？代数式求值有直接代入和整体代入两种思路，直接代入比较麻烦，可以考虑整体代入。
整体代入的核心是等价变形和替换，也就是需要将所需要求值的式子进行合理变形，那么该如何变形呢？
观察式子发现是一个三次式子，从已知得到的条件都是一次式，所以首先需要做的就是降次，将三次降为一次，那么该如何降次呢？
在变形中有一个小技巧，方程的根满足原方程，代入就可以得到如下的式子：
再变形得：
有已知条件得，方程的根不为0，则两边同时给乘以未知数就可以得到三次式子，
将三次式子代入要求值的式子可得
整体变为二次式，再降次，将
代入可得：
变形到最后就很简单了，
由根与系数的关系可得：
代入即可以得到结果。
反过头来看这个题目，解题的关键在于降次，题目中运用到方程的根的含义及根与系数的关系，运用到了整体思路，在解题的过程中条件和问题同时变形，往一起靠拢，最终得到可以求值的式子。
学习的关键在思路和方法，分析的过程很重要，为什么要这样变形，依据是什么，目的是什么，方法和要点是什么，整体思路是什么，把这些问题都想明白了，这类题目也就完全掌握了。
再来练习一道题目，方法和思路同上。
普通人，在基础知识掌握比较扎实的情况下，如果按照的科学思维方法，经过科学的训练，是可以达到一个比较高的境界，接近那些拥有数学天赋的“学霸”学生的。
之后一直有读者在知乎和公众号后台问我，到底什么叫做科学的思维方法？到底如何解题？
数学的解题理论有很多专家都曾经表述过，比较出名的是波利亚的《怎样解题》，国内的罗增儒也有相关的著作。
我个人的解题思想受波利亚的影响很大，当然这里不多说理论，我举一些例子，来展示一下我的解题线路图。
先来看一道解三角形的题目：
这道题是一道典型的解三角形的题目，看到这道题目之后，我们首先要看看我们“武器库”里的工具：
就像我们炒一盘番茄炒蛋首先要把材料准备好一样，我们首先脑海要有能够支撑我们解题的工具，这依赖于我们平时的记忆，尤其是在解题中的记忆。
而且你要知道哪些工具是最常用的，哪些是偶尔才用到的？在解题过程中首先选择最常用的工具，所以我们再来看一遍题目：
在题目中显然只有一个条件，对于这种条件，这种题型，我们在武器库里最常用的工具只有两个：正弦定理和余弦定理，通过这两个工具对等式变形，化角为边或者化边为角。
那么问题来了，到底选择哪一个呢？
这个时候一般有两种判断方法，一个是预判，一个是尝试。
当你知道应用什么工具，但是不太确定时，首先做的是尝试：
余弦定理：
显然应用余弦定理之后，正弦值无法处理，而且左侧分母变成3次项，处理起来难度过高！
PASS!
正弦定理：
变换之后，显然在形式上达到了统一，而且左侧形式对称，通分之后可以构造和差公式，右侧角C与A+B互补，可以相互转化！
即：
由此第一问得证！
大家注意了吗？
我们根本就没有看第一问要干什么，直接根据条件推导出第一问要证明的结论，这就是分析题目的重要性！
尤其是一些比较简单的题目，当你能够科学的分析，按照逻辑走，基本上条件分析到位，大案水落石出！
这种思维过程在学霸眼里会觉得小儿科，那是因为他们或者天生，或者经过训练，将这种思维压缩在一个很短的反应时间内，甚至形成了条件反射，但内部包含的思维流程一定是这样的！
区别无非是有的快，有的慢而已，我们要做的，就是多加训练，把这种思维流程成为我们的本能！
下面我们来看第二问：
大家会发现，我把第二问变形了。这是因为对于比较复杂的题目，其实都是可以拆分成一小节一小节的，当我们完成一小节之后，要把我们所拥有的条件重新整理一下，再开始做下一节，在思维上也是一种节奏的调节。
我们重新审视条件，两个条件中，显然蓝色方框里框起来的条件是题眼！
一道题目，出题人一定会给你一个突破口的，或者明显，就像这道题，或者隐蔽，像一些比较难的题目。
我们所要做的就是抓住题眼，然后庖丁解牛，就可以飞流直下三千尺，送我一夜至江陵了！
这个条件显然与我们武器库中的余弦定理在形式上非常一致：
所以我们可以算出角A的余弦值为五分之三，进而题目转化为：
其实解题过程就是一个不断转化条件，进而转化题目的过程。
到这一步之后就是一个纯粹涉及到三角恒等变形的题目，此时我们的武器库中，正余弦定理就退居次席了，和差公式，三角形内部角之间的关系这些武器的重要性就上来了！
此时很多同学看到题目中的第一个式子，会立马在脑海里想到这样一种变形方式：
这种方式是解三角形恒等变形里面非常常见的思路，但是在这里是走不通的！
这就是思维定式对我们的影响！
有时候思维定式可以让我们更快的解题，但有时候思维定式会对我们造成干扰！
要解决这个问题，就只有具体实际具体分析！
这是我们冷静一下，仔细分析分析：
首先题目中出现三个角，必然是要消除一个的，否则的确无法解题，之前的思路是消去角C，没有走通！
而题目中是要求角 B的，无法消除，那么只能消去角A！
而角A的三角函数是已知的！
到这里之后，思路就完全打开了，利用和差公式将等式右侧展开并代入角A的正余弦值就可以了！
即：
整理即可！
思路理清楚后，回过头来我们还要注重一些细节，比如在利用基本关系式求角A正弦时，要强调角A在三角形中，强调角A的范围！
在我的解题观里，每一道数学题，都是一个出题人和解题人的游戏，出题人试图把条件藏的深一点，再深一点，曲折一点，再曲折一点，但是又要留出一点突破口给解题人！
而解题人就需要找到这个突破口，然后一点点切入，抽丝剥茧，转化条件，再转化条件，不断去重新审视条件，逼近结论！
当然这道题目比较简单，并不能体现出解题过程中的复杂性！很多难一点的题目在思考的时候是很痛苦的，因为你可能一条路径很难走通，换一条路径可能还是很难走通，有时候做到比较复杂的步骤，会怀疑自己到底做的对不对！
