证明： 以单位圆为例,积第一象限,用换元法: ∫(1-x^2)^(1/2)*dx =∫(1-sint*sint)^(1/2)*d(sint)(t从0到π/2) =∫cost*cost*dt =0.25*∫[1+cos(2t)]*d(2t) =0.25*∫du+0.25*∫cosu*du(u从0到π) =0.25π+0.25*(sinπ-sin0) =0.25π 算四个象限就变成π,即单位圆的面积。
圆的面积公式是通过微积分中的定积分来证明的。下面是一个简要的证明过程。
我们从一个半径为 r 的圆开始。我们可以将圆分成无数个无穷小的扇形，然后将这些无穷小的扇形堆叠在一起形成整个圆。
我们选取一个无穷小的扇形，其中的角度为 dθ。根据几何关系，它的面积可以表示为：
dA = (1/2) r² dθ
现在，我们需要计算整个圆的面积。为了做到这一点，我们需要沿着圆弧上的角度 θ 进行积分，从 0 积分到 2π（一个完整的圆的角度范围）。
A = ∫(0 to 2π) (1/2) r² dθ
进行积分计算后，我们得到：
A = (1/2) r² [θ] (from 0 to 2π)
= (1/2) r² [2π - 0]
= π r²
因此，我们通过微积分中的定积分证明了圆的面积公式 A = π r²。
