中值定理是微积分学中的一个重要结果，描述了一个连续函数在区间内取得平均值的性质。它有多个不同的推广公式，包括以下几个：
罗尔定理（Rolle's Theorem）：如果一个实数函数在区间 $[a,b]$ 内连续，并且在开区间 $(a,b)$ 内可微，并且$f(a)=f(b)$，则存在一个数 $cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。
拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）：如果一个实数函数在区间 $[a,b]$ 内连续，并且在开区间 $(a,b)$ 内可微，则存在一个数 $cin(a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$。
柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）：如果两个实数函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内连续，并且在开区间 $(a,b)$ 内可微，并且$g(a) eq g(b)$，则存在一个数 $cin(a,b)$，使得$frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=frac{f'(c)}{g'(c)}$。
洛必达中值定理（L'Hôpital's Rule）：如果两个实数函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在某个数 $c$ 的邻域内连续，并且在$c$ 处可微，并且 $f(c)=g(c)=0$ 或 $f(c)=g(c)=infty$，则$lim{x o c}frac{f(x)}{g(x)}=lim{x o c}frac{f'(x)}{g'(x)}$，其中右侧极限可以直接求值或者通过继续使用洛必达法则予以求值。
这些中值定理的推广公式可以用来证明其他定理，解决数学问题，或对函数、曲线等进行分析。
1、拉格朗日中值定理
中值定理是微积分学中的基本定理，由四部分组成。内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理等。
2、柯西中值定理
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。
3、积分中值定理
积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。这个定理的几何意义为:若f(x)≥0，x∈[a,b]，则由x轴、x=a、x=b及曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积等于一个长为b-a，宽为f(ξ)的矩形的面积。
