微分方程的本质特征是方程中含有导数项,数值解法的第一步就是设法消除其导数值,这个过程称为离散化。 实现离散化的基本途径是用向前差商来近似代替导数,这就是欧拉算法实现的依据。 欧拉(Euler)算法是数值求解中最基本、最简单的方法,但其求解精度较低,一般不在工程中单独进行运算。 所谓数值求解,就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。 对于常微分方程:
dy/dx=f(x,y),x∈[a,b]
y(a)=y0。
可以将区间[a,b]分成n段,那么方程在第xi点有y'(xi)=f(xi,y(xi)),再用向前差商近似代替导数则为:(y(xi+1)-y(xi))/h=f(xi,y(xi)),在这里,h是步长,即相邻两个结点间的距离。 因此可以根据xi点和yi点的数值计算出yi+1来:
yi+1= yi+h*f(xi,yi),i=0,1,2,L。
这就是欧拉格式,若初值yi+1是已知的,则可依据上式逐步算出数值解y1,y2,L。