证明：己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O； ∵点O在∠A的角平分线上， ∴O到AB的距离与O到AC的距离相等； 同理可证：O到BC的距离与O到BA的距离相等。 根据等量代换，可知O到AC与O到BC的距离相等， 又∵AC和BC为∠C的边，因此点O在∠C的角平分线上。 ∵O为△ABC中，∠A、∠B、∠C角平分线上的点。 ∵命题得证
三角形三个角平分线相交于一点，是三角形的内心，它到三角形三边的距离相等。从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

内心性质
设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2，三角形内心为I：
1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。
2、三角形的内心与三角形位置关系：现有AI交BC于点D；BI交CA于点E；CI交AB于点F，三角形内接圆分别交BC，CA，AB于X，Y，Z。
（i）IX:IY:IZ=1:1:1
（ii）BD:DC=b:c;CE:EA=c:a;AF:FB=a:b
（iii）BX:XC=(p-b):(p-c);CY:YA=(p-c):(p-a);AZ:ZB=(p-a):(p-b)
（iv）AI:BI:CI=(1/sin(A/2)):(1/sin(B/2)):(1/sin(C/2))
（v）△IBC，△ICA，△IAB面积比为a:b:c
3、r=S/p。
4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。
5、∠BOC=90°+∠A/2。
6、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：
a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。
7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：
向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。
证明：先做出△ABC中角A和角B的平分线，设两平分线交点为O，连接OC。做点O到△ABC三边的垂线。因为O点既在角A的平分线上又在角B的平分线上，所以这三条垂线担等。因此O点也在角C的平分线上，OC也是角C的平分线。所以三角形三条角平分线交于一点。
