琴生不等式（Jensen's inequality）是一个在数学中常用的不等式，用来描述凸函数的性质。下面是琴生不等式的证明：
假设我们有一个凸函数f(x)，其中x为实数，且假设x1, x2, ..., xn为任意n个实数。另外，假设w1, w2, ..., wn为n个非负实数，且满足w1 + w2 + ... + wn = 1。
我们要证明的琴生不等式如下：
f(w1x1 + w2x2 + ... + wnxn) ≤ w1f(x1) + w2f(x2) + ... + wnf(xn)
证明：
1. 首先，我们需要定义凸函数的概念。一个函数f(x)在区间[a, b]上是凸的，如果对于该区间上的任意两个实数x1和x2，以及任意的t (0 ≤ t ≤ 1)，都满足以下条件：
f(tx1 + (1 - t)x2) ≤ tf(x1) + (1 - t)f(x2)
2. 我们假设f(x)是一个凸函数，x1, x2, ..., xn是任意n个实数，且w1, w2, ..., wn是n个非负实数，满足w1 + w2 + ... + wn = 1。
3. 我们定义一个新的实数y = w1x1 + w2x2 + ... + wnxn。
4. 根据凸函数的定义，对于任意的i (1 ≤ i ≤ n)，我们有：
f(wixi + (1-wi)y) ≤ wif(xi) + (1-wi)f(y)
5. 将上述不等式对i从1到n求和，得到：
∑[i=1到n] f(wixi + (1-wi)y) ≤ ∑[i=1到n] (wif(xi) + (1-wi)f(y))
6. 将等式两边的第二项展开，得到：
f(w1x1 + w2x2 + ... + wnxn) + (1 - w1)f(y) ≤ w1f(x1) + w2f(x2) + ... + wnf(xn) + (1 - w1)f(y)
7. 由于(1 - w1)f(y) ≤ (1 - w1)f(y)，我们可以将不等式两边的第二项去掉，得到：
f(w1x1 + w2x2 + ... + wnxn) ≤ w1f(x1) + w2f(x2) + ... + wnf(xn)
8. 因此，我们证明了琴生不等式。
需要注意的是，琴生不等式成立的前提条件是函数f(x)是凸函数，且x1, x2, ..., xn为任意实数，w1, w2, ..., wn为非负实数且满足和为1。如果函数f(x)是凹函数，则不等式反向成立。
