梅涅劳斯定理是一个关于三角形内切圆和三角形三边的定理。具体表述为：三角形内切圆与三角形三边的三条角平分线相交于三点，这三点共线且两端点到中间点的距离相等。
梅涅劳斯定理的证明如下：
1. 设三角形ABC的内切圆O与三边AB、BC、CA相切于点D、E、F，角A、B、C的平分线分别交内切圆O于点P、Q、R，2. 在内切圆O中作直线DEF，连接线段AP、BQ和CR，并延长交于点S。则根据角平分线定理可得：
（1）∠PAD=∠PAF，∠PAE=∠PAB；
（2）∠QBE=∠QBA，∠QBC=∠QBF；
（3）∠RCT=∠RCA，∠RCB=∠RCF。
3. 以AB、BC、CA为底边，PQ、QR、RP为高分别构造三个三角形AQD、BRD、CRF，易得到：
（1）△PAD∽△QBE，因而AD·BE=PD·EQ；
（2）△QBE∽△CRF，因而BE·CF=EQ·FR；
（3）△RCF∽△PAD，因而CF·AD=FR·PD。
整理上面这些式子，可以得到：
AD·BE·CF=PD·EQ·FR。
4. 对于内切圆的同一条直径来说，有PD=PE，EQ=ER，FR=FD，因此上式可以简化为：
AD·BE·CF=PD·EQ·FR=PE·ER·FD。
5. 根据帕斯卡定理，对于六边形BEPFDR，直线DEF上的交点S，则有：
BE·PF·DR=EP·FB·RD，
BE·CF·DR=EF·BD·RC
PF·RC·BD=PF·AB·DR，
将上述各式代入到AD·BE·CF=PE·ER·FD中，得到：
AB·CF·PD=BC·AE·FR=CA·BE·EQ=2s[ABC]，
其中s[ABC]表示三角形ABC的半周长。
6. 根据之前的推导，有CF·AD=BE·CF=FR·PD，因此CF(FR+PD)=CF·BE，即AC(AB+BC)=AB·BC，得证。
因此，可以得到三角形内切圆与三角形三边的角平分线相交于同一条直线上，且两段距离相等，梅涅劳斯定理得证。
