直线与平面平行的判定定理如下：
一个直线与一个平面平行，当且仅当这个直线上有一点，在这个点有一条直线在这个平面内，且这个点到这个直线的距离在这个平面内。
证明如下：
先证明必要性，即如果一条直线 L 和一个平面 P 平行，那么在 L 上任取一点 M，在 P 上作以 M 为起点的一条垂线，记为MN。由于 L 与 P 平行，所以 MN 也在平面 P 内，且 M 到 L 的距离等于 MN 的长度，故 M 到 P 的距离也等于 MN 的长度，因此这个点到这个直线的距离在这个平面内。
然后证明充分性，即如果在直线 L 上有一点 M，在点 M 处有一条直线 MN 在平面 P 内，且 M 到 L 的距离 d 在平面 P 内，那么可以假设直线 L 不与平面 P 平行。那么 L 与 P 一定有交点，设为点 Q。则 MQ 是平面 P 内的一条直线，所以 MQ 与 MN 互相垂直，并且 L 与 MQ 也互相垂直。因此，QM 为 MN 的高，且 QM 小于 d，这就与 M 到 L 的距离 d 在平面 P 内相悖，因此假设不成立。故直线 L 与平面 P 平行。
证毕。
