函数递增的充要条件（函数单调递增的充要条件是什么）

函数递增充要条件是：对于函数的定义域中的任意两个元素$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)<f(x_2)$。

换句话说，如果对于任意的$x_1<x_2$，都有$f(x_1)<f(x_2)$，那么函数$f(x)$在定义域上是递增的；反之，如果函数$f(x)$在定义域上是递增的，那么对于任意的$x_1<x_2$，都有$f(x_1)<f(x_2)$。

需要注意的是，这个充要条件只适用于定义域是实数集的情况。如果函数的定义域不是实数集，那么需要根据具体情况进行分析。